Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
рис. 1 рис.2 рис.3
Если все три угла острые (рис.1), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой (∠C=90º рис. 2), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( ∠B рис. 3), то это тупоугольный треугольник.
рис. 4 рис.5 рис.6
Треугольник ABC ( рис.4) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.5) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.6), получаем внешний
угол ∠ BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: ∠ BCD =∠ A + ∠ B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Признаки равенства треугольников:
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
1)две стороны и угол между ними;
2) два угла и прилегающая к ним сторона;
3) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
рис. 1 рис.2 рис.3
Если все три угла острые (рис.1), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой (∠C=90º рис. 2), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( ∠B рис. 3), то это тупоугольный треугольник.
рис. 4 рис.5 рис.6
Треугольник ABC ( рис.4) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.5) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.6), получаем внешний
угол ∠ BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: ∠ BCD =∠ A + ∠ B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Признаки равенства треугольников:
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
1)две стороны и угол между ними;
2) два угла и прилегающая к ним сторона;
3) три стороны.
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга.
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны(рис.1).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.
Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны .
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Комментариев нет:
Отправить комментарий